モンパレ 肉投げでのSSの個数の確率

我は再び新たな問題を考え出した。たとえば確率pで起こる事象があるとする。n回の独立な試行によってこの事象がx回起こる確率を計算する。(pは0以上1以下、xは0を含む自然数でn以下、nは自然数)
これはいわゆる、「これくらい肉を投げてSSﾓﾝｽﾀｰがこれくらい来る確率」として知られている。
その確率はいより反復試行ｎ簡単に(nCx)p^x*(1-p)^(n-x)ということが分かる。

簡単にわかるのはいいのだが、この式、どうにも解釈しづらい。
そこで、例のwolflam alphaを用いてグラフ化しようとたくらんだ。
とりあえず変数が3つあるのでグラフを描くことは難しい。そこで、pとnを固定してxを変数としてグラフを描くことにする。SSﾓﾝｽﾀｰ云々の話では、親分の洞窟で10連として考えると、p=0.04,n=10であるから、グラフf(x)=(10Cx)(0.04)^x*(0.96)^(10-x)を一応xが実数を動くと見て描画する。

ただし、xが実数を動く場合、10Cxの部分が恐ろしいことになる。要するに、3!や4!だけでなく、
2.5!や√2!なども求めなければいけないという、階乗の定義からはどうしようもない問題が発生する。そこでガンマ関数の出番。
ガンマ関数は、wikipediaから画像を引用すると、次の式で与えられる。

これが階乗z-1!と等しくなるのは、どうやら証明があり、真偽は確かめていないが部分積分っぽい。
要するに、n!=Γ(n-1)ということになる。
これに関しては深く追求しないことにする。
とりあえずそれを認めたうえで、上記のグラフを描画する。

f(x)(赤)は親分の洞窟10個投げでSSが入手できる個数。g(x)(青)は親分の洞窟10個投げでSSまたはSが入手できる個数となっている。
なにを比較したいのかというと、当然SSまたはSに拡張して確率が上昇した場合は全体的に「良い」傾向がでることが分かる。(低い値が出にくく高い値がでやすい)これから期待値がSSまたはSの方が大きいことが、期待値の定義よりグラフの面積と類似(期待値はxが0と自然数以外では定義されないのが違い)して、青色のほうが期待値がよさそうなのは明らか。

これで分かったこととしては確率が大きければその分「良い」結果が得られるということ。

こんなことは常識として直感的に分かることなので面白くない。
以前の記事で、スペシャルと親分の洞窟の確率について論じたが、ついにそれを視覚化できる。

赤色が親分の洞窟10連投げ、青色がスペシャルな洞窟10連投げ。見た目で赤色のほうがよさそう(xが大きいほどSSの入手個数は増える)なことが一目瞭然。

だがそれではスペシャルな洞窟に探検に生かせる意味がないんじゃないかと。
スペシャルに投げる価値があるのは、その限定モンス(人型オルゴ)と、SSorS確定枠の存在による。なので、これを考慮に入れることにする。
SSまたはSを10連投げで入手できる確率は、親分のほうは計7%だから
10Cx(0.07)^x*(0.93)^(10-x)で容易に与えられる。
だが問題はスペシャルの方。10連においてこれまでSSの出る確率は、総ての枠で一律2%だったので同様の式でいけたがSSまたはSを論じる場合、1枠目のみSの入手確率が異なる、という点に注意せねばならない。そこで、スペシャルな洞窟に10連投げでSSまたはSがx匹くる確率について、
1枠目は100%でSSまたはSが来る、ということを考えると、g(1)=1となる。g(2)=9C1(0.05)^1*(0.95)^(9-1)...となっていく。なので、gがx=1では、9C0(0.05)^0*(0.95)^9=0.95^9=0.63くらいであるが、x=0が最大の問題。明らかにg(0)=1であるが、g(0)=9C-1(0.05)^(-1)*(0.95)^10となり、この式に最大の問題点(-1)!が発生する。これ以外の値が有限で、この(-1)!の値が先ほどのΓ関数から、値を持たない(いわゆるlim(x->0)1/xと同じやつ)という事態が発生。ただ分母にあるので、一応その「値」としては0を示す。事実グラフに描かせてもやはり0という値を示した。
なので、g(x)にはx=0で0という値をとってしまうため、x=0でのみ1の値を足すことのできる関数を勝手に作りたいのだが、今はまだ思い浮かばない。なので定義域はしかたなくx=1からx=9とする。(x=10も信憑性が定かではないので)

赤色が親分、青色がスペシャルでSSまたはSが入手できる確率。見たところ全ての値に対して、スペシャルの方がSSまたはSの獲得個数で優位に立っているように見える。一応グラフの差をとると
x=0を除いて(明らか)x=9まででスペシャルの方が入手できる確率は各個数に対し大きい。
ところで、x=10の場合は、親分は0.07^10となり、スペシャルは0.05^9となる。
よってこの差(親分-スペシャル)をとると、8.72×10^(-13)となりわずかに0より大きいので、
なんと面白いことに、SSまたはSが10個投げてすべてそれらになる確率は、おやぶんの洞窟のほうが大きいのだ。

なので結論。
SSまたはSが欲しければ、スペシャルな洞窟に絶対投げるべきである。ただし、これは「SSまたはS」と書いているので、SSの出る確率については論じていないので注意。あくまでとある枠がSS
またはSとなる枠の個数の話をしているから。
余談。上の考察結果から、もしたとえば10個投げで全てSSまたはSが出るかチャレンジ!!とかいう絶望的なことをしている人がいたならば、なんと親分に投げるほうが良いという結果
親分のほうの確率は2.825×10^(-12)=0.0000000002825%
スペシャルの方の確率は1.953×10^(-12)=0.0000000001953%なので、
なんと親分のほうが条件を達成できる確率約1.4倍!!!
まあそんなことは「絶対に」起こらないといっても過言ではない。
なにしろこの確率、ほぼ0だから。大体1兆回試行をしてようやくそれが起こるのが平均的に2.8回…ということで1兆回試行をしてもこれが起こらない確率はけっこう高い。
これは以前の記事で述べた期待値と確率の罠ということで詳しく解説している。
なので、このような挑戦は目安としてしもふりにく1兆個すなわち400兆円分用意する国家プロジェクトどころではないチャレンジとなるので、素直にあきらめるのが無難である。