前提条件 n回目の試行に対しある事象Aの起こる確率を0.001*(n+1)で定める。
ただし事象Aが起こった場合試行を中断するものとする。
この条件の下、1回目から8回目までの間および10n-1回目から10n+8回目までの間(kを自然数とする)で事象Aの起こる確率P(n)(これがn%台スカウトと同義)を求めよ。
要するに先ほど挙げた問題はこの問題に帰着できる。
解答としては1回目から8回目のみ
10n+9 k-1
Σ{(Π1000-i/1000)*(k/1000)}
k=10n i=2
の値でk=2,シグマの上を9に書き換えたものとなる。
…とはいえこの式を提示されても正直使い道がない。(ひとつの式で表せる美しさ?はあるが)
実用的にするため何とか近似解を得たい。
思いつく方法として常用対数をとるという方法がある。
例として0.998*0.997*0.996*0.995*0.006を考える。これは5回目でスカウト成功する確率である。
この値に、10を底とした対数をとると、 5
log
10(0.998*0.997*0.996*0.995*0.006)= {
Σlog10(1-0.001*i)}+log100.006となる。
i=2
logは、a^x=bなるxを表すためのものであり、(ただし条件としてaが1でない、aが0以下にならない、bが0以下にならないなど制約はあるが)これをｘについて解いてx=log
abとしたわけであるから
この定義を基に考えると、log
100.998の値は、10を何乗かすると0.998になるというその何乗の"何"を求めるということ。これは手計算ではできないので常用対数表を用いる。
その値はおよそ0.9999131。つまり10^0.9999131=0.998ということになる。
この0.9999131などの値を足していけばいいことになる。
そうすることによりまあまあな精度で値を求められることになる。
だが早い話、電卓で入力すればいいだけのこと。ただこれでは有効数字の問題もあり若干信用性が薄い。
そこでmathematicaの出番。このソフトウェアならさまざまな数学的処理を行ってくれるという優れもの。特に媒介変数などを利用した立体グラフは見ているだけでも面白いほど。
ただし価格が高いのでこれを使える場所は限られてくる。
今度暇があったら計算してみるのもいいかもしれない。
結局値がいまだに得られていないので、以前電卓で手入力した値を引っ張ってくる。
ただしこれは個別の回数に関する確率なので注意。
n n回目でスカウトできない確率 n回目までにスカウトできる確率
2 99.8% 0.2%
3 99.5% 0.5%
4 99.1% 0.9%
5 98.6% 1.4%
10 94.7% 5.3%
15 88.7% 11.3%
20 81.0% 19.0%
25 72.1% 27.9%
30 62.6% 37.4%
35 52.9% 47.1%
40 43.6% 56.4%
45 35.0% 65.0%
50 27.4% 72.6%
55 20.8% 79.2%
60 15.5% 84.5%
65 11.2% 88.8%
70 7.85% 92.15%
75 5.37% 94.63%
ちなみに我は前半後半共にはまりは76が最大。要するに2回ともその5パーセントくらいを引いてしまったわけだがほかのモンスターも含めると全部で10数体いるので、別段これくらいのものが1つ出てきてもそれほど運が悪いわけではないと考えられる。ラインナップ20種類でとんとんの確率。
明日以降はメタル祭りなのでそれに関して次の記事で予定を述べておく。
